Regula pluredroj: elementoj simetrio kaj areon

Geometrio estas bela ĉar, kontraste algebro, kiu estas ne ĉiam klara, kial kaj kiel vi pensas, donas vidaj objekto. Tiu mirinda mondo de diversaj korpoj ornamas la regulaj pluredroj.

Ĝeneralaj informoj pri regulaj pluredroj

Laŭ multaj, regulaj pluredroj, aŭ kiel ili estas nomataj platonaj solidoj, posedi solaj proprietoj. Kun ĉi tiuj celoj konektita plurajn sciencajn hipotezojn. Kiam vi komencos studi la geometria datumoj de la korpo, vi konscias, ke preskaŭ nenion scias pri tia koncepto kiel la regulaj pluredroj. La prezento de ĉi tiuj celoj en la lernejo ne ĉiam interesa, tiom da eĉ ne memoras, kion oni nomis ilin. En memoro de la plej multaj homoj estas nur kubo. Neniu el la korpo geometrio ne posedas tian perfektecon kiel regulaj pluredroj. Ĉiuj nomoj de ĉi tiuj geometriaj korpoj originis de antikva Grekio. Ili reprezentas la nombron da vizaĝoj: la kvaredro - kvarflanka, sesedro - Allen, okedro - oklatero, dekduedro - dekduedra, dudekedro - dudekedra. Ĉiuj de ĉi tiuj geometria korpo okupas gravan lokon en Platono koncepto de la universo. Kvar el ili estas enkorpigita elementoj aŭ estaĵoj: la kvaredro - la fajro, la dudekedro - akvo kubo - tero, okedro - aero. Dekduedro enkorpigita ĉion. Li estis konsiderita la ĉefa, kiel simbolo de la universo.

La ĝeneraligo de la koncepto de pluredro

Pluredro estas finia kolekto de pluranguloj tia, ke:

• ĉiu el la flankoj de iu ajn el la plurlateroj estas samtempe nur unu flanko de alia plurlatero sur la sama flanko;
• unu de de la pluranguloj povas piediri al la alia pasante apuda arangxajxo plurlateroj.

Plurlateroj konstituante la pluredro reprezenti lian vizaĝojn kaj siajn flankon - ripoj. pluredroj verticoj estas la verticoj de pluranguloj. Se la termino plurlatero kompreni plata fermita polylines, tiam venu al unu difino de pluredro. En la kazo kie per tiu termino celas parton de la aviadilo, kiu estas barita per rompitaj linioj, ĝi estos komprenita surfaco konsistas el plurlatera pecojn. Konveksa pluredro estas nomata la korpo kuŝis sur unu flanko de la aviadilo, najbara al liaj multekostaj.

Alia difino de pluredro kaj ĝia elementoj

Pluredro nomita surfaco konsistas de pluranguloj, kio limigas la geometria korpo. Ili estas:

• ne-konveksa;
• konveksa (bono kaj malbono).

Regula pluredro - estas konveksa pluredro kun maksimuma simetrio. Eroj de regulaj pluredroj:

• Tetraedro: 6 ripoj 4 vizaĝoj 5 verticoj;
• sesedro (kubo) 12, 6, 8;
• dekduedro 30, 12, 20;
• okedro 12, 8, 6;
• dudekedro 30, 20, 12.

Eŭlera teoremo

Ĝi establas rilaton inter la nombro de randoj, verticoj kaj vizaĝoj estas topologie ekvivalenta al sfero. Aldono la nombro de verticoj kaj vizaĝoj (B + D) havas malsamajn regulaj pluredroj kaj komparante ilin kun la nombro de ripoj, eblas agordi unu regulo: la sumo de kelkaj vizaĝoj egala al la nombro de verticoj kaj randoj (P) kreskis je 2. Eblas derivi simplan formulon:

• B + D = P + 2.

Tiu formulo estas valida por ĉiu konveksa pluredroj.

bazaj difinoj

La koncepto de regula pluredro estas neeble priskribi en unu frazo. Estas pli valora kaj volumo. Korpo esti rekonita kiel tia, necesas ke ĝi renkontas kelkajn difinojn. Tiel, geometria korpo estos regula pluredro kiam tiuj kondiĉoj estas renkontita:

• ĝi estas konveksa;
• la sama kvanto de ripoj konverĝas ĉe ĉiu el ĝiaj verticoj;
• ĉiuj facetoj de lia - regulaj plurlateroj, egala al unu la alian;
• Ĉiuj duedraj anguloj estas egalaj.

Propraĵoj de regulaj pluredroj

Estas 5 malsamaj specoj de regulaj pluredroj:

1. Cube (sesedro) - ĝi havas ebenan apekso angulo estas 90 °. Ĝi havas 3-flankita angulo. Kvanto vizaĝo angulojn ĉe la apekso de 270 °.
2. Tetraedro - plata apekso angulo de - 60 °. Ĝi havas 3-flankita angulo. Kvanto vizaĝo angulojn ĉe la apekso - 180 °.
3. Okedro - plata apekso angulo de - 60 °. Ĝi havas kvar-flanka angulo. Kvanto vizaĝo angulojn ĉe la apekso - 240 °.
4. Dekduedro - plata apekso angulo de 108 °. Ĝi havas 3-flankita angulo. Kvanto vizaĝo angulojn ĉe la apekso - 324 °.
5. Dudekedro - ĝi havas ebenan apekso angulo de - 60 °. Ĝi havas kvinangulaj angulo. Kvanto vizaĝo angulojn ĉe la apekso de 300 °.

La areo de regula pluredroj

La surfaca areo de la geometriaj korpoj (S) estas kalkulita kiel regula plurlatero areon multiplikita per la nombro de facetoj (G):

• S = (a: 2) x 2G CTG π / p.

La volumeno de regula pluredro

Tiu valoro estas kalkulita per multiplikado de la volumeno de regula piramido kies bazo estas regula plurlatero, la nombro de vizaĝoj, kaj la alton estas la enskribita radiuso de la sfero (r):

• V = 1: 3RS.

Volumoj de regulaj pluredroj

Kiel ĉiu alia geometria solida, regulaj pluredroj havas malsamajn volumoj. Jen formuloj per kiuj oni povas kalkuli:

• Tetraedro: α x 3√2: 12;
• okedro: α x 3√2: 3;
• dudekedro; α x 3;
• sesedro (kubo): α x 5 x 3 x (3 + √5): 12;
• dekduedro: α x 3 (15 + 7√5): 4.

Eroj de regulaj pluredroj

Sesedro kaj okedro estas duala geometria korpo. Alivorte, ili ricevas el la alia en la okazaĵo ke la pezocentro de unu estas prenita kiel la pinto de la alia, kaj inverse. Ankaŭ estas duala dudekedro kaj dekduedro. Sin nur kvaredro estas duala. Laŭ la metodo de Eŭklido povas esti ricevita de dekduedro sesedro konstruante "tegmentoj" sur la vizaĝoj de la kubo. La verticoj de la kvaredro estas ajna 4 verticoj de la kubo, ne najbaraj paroj laŭ la rando. El sesedro (kubo) povas esti akirita, kaj aliaj regulaj pluredroj. Malgraŭ tio, ke regulaj plurlateroj estas sennombraj, regulaj pluredroj, ekzistas nur 5.

La radioaparatoj de regulaj plurlateroj

Kun ĉiu el tiuj geometriaj korpoj estas ligitaj samcentraj sferoj 3:

• priskribita pasanta tra la verticoj;
• enskribita pri ĉiu el la edroj en la mezo;
• meza nivelo de la tuta randoj en la mezo.

La radiuso de la sfero priskribita per jena formulo estas kalkulita:

• R = al: 2 x tg π / g x tg θ: 2.

La radiuso de la enskribita sfero estas kalkulita jene:

• R = al: 2 x CTG π / p x tg θ: 2,

kie θ - duedra angulo kiu estas inter apudaj facetoj.

La meza radiuso de la sfero povas esti kalkulita uzante la sekva formulo:

• ρ = a cos π / p: 2 peko π / h,

kie h = la grando de 4.6, 6.10, aŭ 10-a La rilatumo de la radioaparatoj de la enskribita priskribita kaj simetrie kun respekto al p kaj q. Ĝi estas kalkulita kiel sekvas:

• R / r = tg π / p x tg π / q.

La simetrio de pluredroj

La simetrio de la regula pluredroj estas de primara intereso al tiuj geometriaj korpoj. Ĝi komprenas kiel movado de la korpo en spaco, kiu lasas la saman nombron de verticoj, edroj kaj lateroj. Alivorte, sub la influo de simetrio transformoj rando, vertico, aŭ vizaĝo retenas ĝian originalan pozicion, aŭ movoj al la hejmo pozicion de alia ripo, la alia verticoj aŭ vizaĝoj.

Eroj de simetrio de la regula pluredroj estas komunaj al ĉiuj tipoj de geometria solidoj. Jen ĝi estas efektivigita sur la identa transformo, kiu lasas neniun el la punktoj en la originala pozicio. Do, kiam vi turnas la plurlatera prismo povas ricevi iun simetrioj. Ajna el ili povas esti prezentita kiel la produkto de interkonsiliĝo. Simetrio, kiu estas la produkto de numero paro de reflektoj, nomata rekta. Se ĝi estas la produkto de nepara nombro de konsideroj, do oni nomas sugestoj. Tiel, ĉiuj laŭvice ĉirkaŭ la linio reprezentas rektan simetrio. Ajna konsidero pluredro - estas la inversa simetrio.

Por pli bone kompreni la simetrio elementoj de la regulaj pluredroj, vi povas preni la ekzemplon de la kvaredro. Ajna linio kiu pasas tra unu el la verticoj kaj la centro de la geometria formo, okazos, kaj tra la centro de la rando kontraŭan al ĝi. Ĉiu el la turnoj 120 kaj 240 ° ĉirkaŭ la linio apartenas al la pluralon kvaredra simetrio. Ĉar 4 verticoj kaj vizaĝojn, ni akiras tuta de ok rektajn simetrioj. Iu ajn de la linioj pasanta tra la mezo de la randoj kaj la centro de la korpo, ĝi pasas tra la mezo de la kontraŭa rando. Ajna rotacio de 180 °, nomita duon-turno ĉirkaŭ rekta simetrio. Ekde la kvaredro havas tri parojn da ripoj, vi ricevas tri liniojn de simetrio. Bazita sur la supre, oni povas konkludi, ke la totala nombro de rekta simetrio, kaj inkluzive de la identa transformo, estos ĝis dek du. Aliaj rekta simetrio kvaredro ne ekzistas, sed ĝi havas 12 inversa simetrio. Sekve, nur 24 karakterizis kvaredro simetrioj. Por klareco, oni povas konstrui modelon de regula kvaredro farita de kartono kaj certigi ĝi estas la geometria korpo vere havas nur 24 simetrio.

Dekduedro kaj dudekedro - plej proksima al la korpo areo. Dudekedro havas la plej grandan nombron da vizaĝoj, la duedra angulo kaj antaŭ ĉio povas forte alkroĉiĝas al la enskribita sfero. Dekduedro havas la plej malalta angula difekto plej granda solida angulo ĉe la vertico. Ĝi povas maksimumigi plenigi la ĉirkaŭskribita sfero.

skanado pluredroj

Regula pluredroj scintigrafio, kiun ni ĉiuj ŝtopita kune en infanaĝo, havas multajn konceptojn. Se estas aro de pluranguloj, ĉiu flanko de kiu estas identigita kun nur unu flanko de la pluredro, la identigo de la partioj devas plenumi du kondiĉojn:

• de ĉiu plurlatero, vi povas iri al plurlatero havanta la identigo de la flanko;
• identigebla flanko devus havi la saman longon.

Estas aro de pluranguloj kiuj renkontas tiujn kondiĉojn, kaj estas nomita pluredro scintigrafio. Ĉiu de ĉi tiuj korpoj havas plurajn el ili. Ekzemple, kubo de kiuj ekzistas 11 pecoj.