Konveksaj plurlateroj. Difino de konveksa plurlatero. La diagonaloj de konveksa plurlatero

Ĉi tiuj geometriaj formoj estas ĉiuj ĉirkaŭ ni. Konveksaj plurlateroj estas naturaj, kiel mielĉelaro aŭ artefarita (viro faris). Ĉi tiuj ciferoj estas uzataj en produkti malsamajn tipojn de Tavoletoj en arto, arkitekturo, ornamaĵoj, ktp Konveksaj plurlateroj havas la propraĵo ke iliaj punktoj kuŝas sur unu flanko de rekta linio kiu sekvinbero por la paro de najbaraj verticoj de la geometria figuro. Estas aliaj difinoj. Ĝi nomas la konveksa plurlatero, kiu estas aranĝita en unu duonebeno rilate al ajna rekta linio kiu enhavas unu el liaj flankoj.

konveksaj poligonoj

En la kurso de elementa geometrio ĉiam traktata ekstreme simplaj plurlateroj. Por kompreni la ecojn de geometriaj formoj vi devas kompreni iliajn naturon. Por komenci kompreni, ke fermita estas ajna linio kies randoj estas la sama. Kaj la figuro formita de ĝi, povas havi diversajn agordoj. Poligono estas nomita simpla fermita polyline kies apuda unuoj ne situas sur unu rekta linio. Pli ligoj kaj nodoj estas, respektive, la flankoj kaj pintoj de la geometria figuro. Simpla polyline ne sekcas sin.

verticoj de la plurlatero nomiĝas najbaroj, se ili estas la finoj de unu el liaj flankoj. Geometria figuro, kiu havas na nombron de verticoj, kaj de ĉi tie la na nombro de partioj nomita la n-latero. Mem rompita linio estas la limo aŭ konturo de la geometria figuro. Poligonal aviadilon aŭ plata plurlatero nomata la fina parto de iu aviadilo, sia limigita. Apudaj flankoj de la geometria figuro nomita polyline segmentojn devenaj el la sama vertico. Ili ne estos najbarojn se ili estas bazitaj sur malsamaj verticoj de la poligono.

Aliaj difinoj de konveksaj poligonoj

En elementa geometrio, estas pluraj ekvivalentaj en signifo difinojn, indikante kion oni nomas konveksa plurlatero. Cetere, ĉiuj ĉi tiuj asertoj estas same vera. A konveksa plurlatero estas kiu havas:

• ĉiu segmento kiu konektas du punktoj ene ĝi, kuŝas tute en ĝi;

• tie kuŝas ĉiuj ĝiaj diagonaloj;

• ajna interno angulo ne pli granda ol 180 °.

Poligono ĉiam dividas la aviadilon en du partoj. Unu el ili - la limigita (ĝi povas esti enfermita en cirklo), kaj la alia - senlima. La unua estas nomita la interna regiono, kaj la dua - la ekstera areo de la geometria figuro. Tiu estas la komunaĵo de la plurlatero (alivorte - la tuta komponanto) plurajn duone aviadiloj. Tiel, ĉiu segmento havanta finoj ĉe punktoj necesaj al plurlatero tute apartenas al li.

Varioj de konveksaj poligonoj

Difino konveksa plurlatero ne hinda ol estas multaj specoj de ili. Kaj ĉiu el ili havas iujn kriteriojn. Tiel, la konveksa plurlateroj, kiuj havas internan angulo de 180 °, nomata iomete konveksa. La konveksa geometria figuro kiu havas tri pintojn, nomiĝas triangulo, kvar - kvarlatero, kvin - kvinlatero, ktp Ĉiu el la konveksa n-lateroj plenumas la sekvajn gravajn postulojn: .. N devas esti egala al aŭ pli granda ol 3. Ĉiu el la trianguloj estas konveksa. La geometria figuro de ĉi tiu tipo en kiu ĉiuj verticoj estas lokita sur cirklo, nomata la enskribita cirklo. Priskribita konveksa plurlatero estas nomata se ĉiuj ĝiaj flankoj ĉirkaŭ cirklo tuŝi ŝin. Du plurlateroj nomiĝas egalaj nur en la kazo kiam oni uzas la overlay povas esti kombinitaj. Plata plurlatero nomita poligonal aviadilon (a aviadilon parto) kiu ĉi tiu limigita geometria figuro.

Regulaj konveksaj poligonoj

Regula plurlateroj nomita geometriaj formoj kun egalaj anguloj kaj flankoj. Interne ili estas punkto 0, kiu estas la sama distanco de ĉiu el ĝiaj verticoj. Ĝi estas nomita la centro de la geometria figuro. Linioj konektanta la centron kun la verticoj de la geometria figuro nomita apothem kun iliaj konekti la punkto 0 kun la partioj - radioaparatoj.

Ĝusta rektangulo - kvadrata. Egallatera triangulo estas nomita egallateraj. Por tiaj formoj ekzistas jena regulo: ĉiu konveksa plurlatero angulo estas 180 ° * (n-2) / n,

kie n - nombro de verticoj de la konveksa geometria figuro.

La areo de ĉiu regula plurlatero estas difinita per la formulo:

S = p * h,

kie p estas egala al la duono de la sumo de ĉiuj flankoj de la plurlatero, kaj h estas la longo apothem.

Propraĵoj konveksa plurlateroj

Konveksaj plurlateroj havas certaj ecoj. Tiel, la segmento kiu konektas du punktoj de geometria figuro, nepre situas en ĝi. pruvo:

Supozu ke P - la konveksa plurlatero. Prenu du arbitra punktoj, ekz-e, A kaj B, kiuj apartenas al P. De la aktuala difino de konveksa plurlatero, ĉi tiuj punktoj estas lokitaj ĉe unu flanko de la rekta kiu enhavas ajnan direkton R. Sekve, AB ankaŭ havas tiun propraĵo kaj estas enhavita en R. A konveksa plurlatero ĉiam povas esti dividita en plurajn trianguloj absolute ĉiuj diagonaloj, kiu tenis unu el ĝiaj verticoj.

Angulojn konveksa geometriaj formoj

La anguloj de konveksa plurlatero - estas anguloj kiuj estas formitaj de la partioj. Interne anguloj estas en la interna areo de la geometria figuro. La angulo kiu estas formita de ĝiaj flankoj kiuj konverĝas ĉe vertico, nomata la angulo de la konveksa plurlatero. Anguloj apudaj al la internaj anguloj de la geometria figuro, nomita ekstera. Ĉiu angulo de konveksa plurlatero, aranĝitaj en ĝi, estas:

180 ° - x

kie x - valoron ekster angulo. Tiu simpla formulo estas aplikebla al ajna tipo de geometriaj formoj tiaj.

Ĝenerale, por ekster anguloj ekzistas jenaj regulo: ĉiu konveksa plurlatero angulo egala al la diferenco inter 180 ° kaj la valoro de la interno angulo. Ĝi povas havi valorojn kiuj iras de -180 ° al 180 °. Sekve, kiam la interna angulo estas 120 °, la apero havos valoron de 60 °.

La sumo de la anguloj de konveksaj poligonoj

La sumo de la enaj anguloj de konveksa plurlatero estas establita de la formulo:

180 ° * (n-2),

kie n - nombro de verticoj de la n-gon.

La sumo de anguloj de konveksa plurlatero estas kalkulita tute simple. Konsideru tia geometria formo. Determini la sumo de la anguloj en konveksa plurlatero devas konekti unu el ĝiaj verticoj al aliaj verticoj. Rezulte de ĉi tiu ago ĝiras (n-2) de la triangulo. Oni scias, ke la sumo de la anguloj de ajna triangulo estas ĉiam 180 °. Ĉar ilia nombro en ĉiu plurlatero egalas (n-2), la sumo de la enaj anguloj de la figuro egalas 180 ° x (n-2).

Sume konveksa plurlatero anguloj, nome, ĉiuj du apudaj internaj kaj eksteraj anguloj al ili, en ĉi tiu konveksa geometria figuro ĉiam estos egala al 180 °. Sur tiu bazo, ni povas determini la sumo de ĉiuj siaj anguloj;

180 x n.

La sumo de la enaj anguloj estas 180 ° * (n-2). Laŭe, la sumo de ĉiuj eksteraj anguloj de la figuro fiksita de la formulo:

180 ° * n-180 ° - (n-2) = 360 °.

Sumo de la ekstera anguloj de ajna konveksa plurlatero ĉiam estos egala al 360 ° (sendepende de la nombro de ĝiaj flankoj).

Ekstere angulo de konveksa plurlatero estas ĝenerale reprezentita por la diferenco inter 180 ° kaj la valoro de la interno angulo.

Aliaj propraĵoj de konveksa plurlatero

Krom la bazaj ecoj de geometriaj figuroj datumojn, ili ankaŭ havas aliajn, kio okazas al la manipuli ilin. Tiel, ajna de pluranguloj povas esti dividita en multoblajn konveksa n-lateroj. Por fari tion, daŭrigi al ĉiu de liaj flankoj kaj tranĉi la geometria formo kune tiuj rektaj linioj. Split ĉiu plurlatero en pluraj konveksa partoj eblas kaj tiel ke la pinto de ĉiu el la pecoj koincidi kun ĉiuj ties verticoj. De geometria figuro povas esti tre simpla fari trianguloj tra ĉiuj diagonaloj de unu vertico. Tiel, ĉiu plurlatero, finfine, povas esti dividita en iu numero de trianguloj, kio estas tre utila por solvi diversajn taskojn rilate al tiaj geometriaj formoj.

La perimetro de la konveksa plurlatero

La segmentoj de la polyline, poligono nomataj partioj, ofte indikita per la jenaj literoj: AB, BC, KD, de, ea. Ĉi tiu flanko de geometria figuro kun verticoj a, b, c, d, kaj. La sumo de la longoj de la flankoj de konveksa plurlatero nomiĝas lia perimetro.

La cirkonferenco de la plurlatero

Konveksaj plurlateroj povas esti eniris kaj priskribita. Rondo tanĝanta al ĉiuj flankoj de la geometria figuro, nomita la enskribita en ĝin. Ĉi plurlatero nomiĝas priskribita. La centra rondo kio estas notita en la plurlatero estas punkto de intersekco de bisectors de anguloj en donita geometria formo. La areo de la plurlatero egalas al:

S = p * r,

kie r - la radiuso de la enskribita cirklo, kaj p - semiperímetro ĉi poligono.

Cirklo enhavantaj la poligono verticoj, nomita priskribita proksime ĝi. Cetere, ĉi konveksa geometria figuro nomita surskribo. La cirklo centro, kiu estas priskribita pri tia plurlatero estas tiel nomata punkto de intersekco midperpendiculars ĉiuj flankoj.

Diagonal konveksa geometriaj formoj

La diagonaloj de konveksa plurlatero - segmento kiu konektas ne najbaraj verticoj. Ĉiu el ili estas ene ĉi tiu geometria figuro. La nombro de diagonaloj de la n-gon estas metita laŭ la formulo:

N = n (n - 3) / 2.

La nombro de diagonaloj de konveksa plurlatero ludas gravan rolon en elementa geometrio. La nombro de trianguloj (K), kiu povas rompi ĉiun konveksa plurlatero, kalkulita per la sekva formulo:

K = n - 2.

La nombro de diagonaloj de konveksa plurlatero estas ĉiam dependas de la nombro de verticoj.

Partición de konveksa plurlatero

En iuj kazoj, solvi geometrio taskoj necese rompi konveksa plurlatero en pluraj trianguloj kun ne-sekcanta diagonaloj. Ĉi tiu problemo povas esti solvita per forigo certa formulo.

Difinante la problemo: voki dekstra speco de partición de konveksa n-latero en pluraj trianguloj de diagonaloj ke sekci nur ĉe la verticoj de geometria figuro.

Solvo: Supozu ke P1, P2, P3, ..., Pn - la supro de la n-gon. Nombro xn - la nombro de ĝia vandoj. Zorge konsideri la rezultanta diagonala geometria figuro Pi Pn. En ĉiu de la regula vandoj P1 Pn apartenas al aparta triangulo P1 Pi Pn, en kiu 1

Lasu mi = 2 estas grupo de regula vandoj, ĉiam enhavis diagonalo P2 Pn. La nombro da sekcioj kiuj estas inkluditaj en ĝi, egala al la nombro de subdiskoj (n-1) -gon P2 P3 P4 ... Pn. Alivorte, ĝi estas egala al x n-1.

Se mi = 3, tiam la alia grupo vandoj ĉiam enhavi diagonala P3 P1 kaj P3 Pn. La nombro da ĝustaj vandoj kiuj estas enhavitaj en la grupo, koincidos kun la nombro de subdiskoj (n-2) -gon P3, P4 ... Pn. Alivorte, ĝi estos xn-2.

Lasu mi = 4, tiam la trianguloj inter la korekta subdisko estas ligita al enhavi triangulo P1 Pn P4, kiu adjoin la kvarangulo P1 P2 P3 P4, (n-3) -gon P5 P4 ... Pn. La nombro da ĝustaj vandoj tia kvarlatero egalas X4, kaj la nombro de subdiskoj (n-3) -gon egalas xn-3. Bazita sur la suprajn celojn, ni povas diri ke la totala nombro de regula vandoj kiuj estas enhavitaj en ĉi tiu grupo egalas xn-3 X4. Aliaj grupoj, en kiuj mi = 4, 5, 6, 7 ... enhavos 4 xn-X5, xn-5 X6, xn-6 ... X7 regula vandoj.

Lasu mi = n-2, la nombro de korekta particiones en donita grupo koincidos kun la nombro de vandoj en la grupo, en kiu mi = 2 (alivorte, egalas xn-1).

Ekde X1 = X2 = 0, X3 = 1 kaj X4 = 2, ..., la nombro de particiones de konveksa plurlatero estas:

Xn = x n-1 + x n-2 + x n-3, x n-X4 + X5 + 4 ... + X 5 + 4 xn-xn-X 4 + 3 + 2 x n-xn-1.

ekzemple:

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X4 + X5 + X4 + X5 = 14

X7 + X5 = X6 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

X7 = x8 + X6 + X4 * X5 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132

La nombro da ĝustaj vandoj sekcanta ene de unu diagonalo

Kiam kontrolanta individuaj kazoj, ĝi povas supozi, ke la nombro de diagonaloj de konveksa n-latero estas egala al la produkto de ĉiuj particiones de tiu diagramo ŝablono (n-3).

La pruvo de ĉi tiu supozo: supozu ke P1n = x n * (n-3), do ajna n-latero povas esti dividita en (n-2) estas triangulo. En ĉi tiu kazo unu el ili povas esti stakigita (n-3) -chetyrehugolnik. Samtempe, ĉiu kvarangulo estas diagonalo. Ekde tiu konveksa geometria figuro du diagonaloj povas esti efektivigita, kio signifas, ke en iu ajn (n-3) -chetyrehugolnikah povas konduki aldonan diagonalo (n-3). Sur tiu bazo, oni povas konkludi, ke en iu taŭga dispartigo havas okazon (n-3) -diagonali kunveno la postulojn de ĉi tiu tasko.

Areo konveksaj poligonoj

Ofte, por solvi diversajn problemojn de elementa geometrio estas bezono por determini la areon de konveksa plurlatero. Supozi ke (Xi. Yi), mi = 1,2,3 ... n reprezentas vico de koordinatoj de ĉiuj najbaraj verticoj de la plurlatero, ne havante mem-intersekciĝoj. En ĉi tiu kazo, ĝia areo estas kalkulita per la sekva formulo:

_{S = ½ (Σ (X mi} + X mi + ₁₎ (Y _{i +} Y _mi + _1)),

kiu (X _1, Y _{1) = (X n + 1, Y} n + _1).