Geometria progresio kaj liaj proprietoj

Geometria progresio estas grava en matematiko kiel scienco, kaj aplikata signifon, ĉar ĝi havas ekstreme larĝan amplekson, eĉ en la pli alta matematiko, ekzemple, en la teorio de serioj. La unuaj informoj pri la progreso venis al ni el la antikva Egiptio, aparte en la formo de konata problemo de la Rhind-a papiruso sep personoj kun sep katoj. Variadoj de ĉi tiu tasko estis ripetita multfoje en malsamaj epokoj de aliaj nacioj. Eĉ la Velikiy Leonardo Pizansky, konata kiel Fibonacci (XIII c.), Parolis al ŝi en sia "Libro de la Abako."

Tiel ke la geometria progresio havas antikvan historion. Ĝi reprezentas nombra vico kun nenula unua membro, kaj ĉiu posta, komencante kun la dua estas difinita per multipliko antaŭa rekursieca formulo je konstanta, ne-nula nombro, kiu estas nomata denominatoro progreso (tio kutime designados uzante la literon q).
Evidente, ĝi povas esti trovita de dividante ĉiu posta de la vico al la antaŭa, tio estas: z 2: z 1 = ... = zn: z n-1 = .... Sekve, por la plimulto laboron progresio (zn) sufiĉa ke ĝi konas la valoron de la unua termino de la denominatoro kaj y 1 q.

Ekzemple, lasu z 1 = 7, q = - 4 (q <0), tiam la sekva geometria progresio estas akirita 7 - 28, 112 - 448, .... Ĝi kiel povas vidi, la rezultanta sinsekvo ne monotona.

Memoru ke arbitran sinsekvo de unutona (kreskanta / malkreskanta), kiam unu el liaj membroj sekvas pli / malpli ol la antaŭa. Ekzemple, la vico 2, 5, 9, ..., kaj -10, -100, -1000, ... - monotona, la dua - malkreskanta geometria progresio.

En la kazo kie q = 1, ĉiuj membroj troviĝas esti, kaj tio estas nomita la konstanta progreso.

La vico estis la progreso de ĉi tiu tipo, ĝi devas kontentigi jenaj necesa kaj sufiĉa kondiĉo, nome: ekde la dua, ĉiu de liaj membroj devus esti la geometria meznombro de najbaraj membroj.

Tiu posedaĵo permesas sub certaj du najbaraj trovo arbitra terminon progreso.

na termino eksponente facile trovita de la formulo: zn = z 1 * q ^ (n-1), z sciante unua membro 1 kaj la denominatoro q.

Ekde la nombro sinsekvo havas sumo, do kelkaj simplaj kalkuloj al ni formulo por kalkuli la sumon de la unua vico de membroj, nome:

S n = - (zn * q - z 1) / (1 - q).

Anstataŭante, en la formulo lia esprimo valoro zn z 1 * q ^ (n-1) por akiri duan sumon formulo de la progreso: S n = - Z1 * (q ^ n - 1) / (1 - q).

Meritas atenton al la sekva interesa fakto: la argilo tablojdo trovita en elfosaĵoj de antikva Babilono, kiu rilatas al la VI. AK, enhavas konsiderinde la sumo de 1 + 2 + ... + 22 + 29 egalas 2 al la deka potenco minus 1. La klarigo de tiu fenomeno ankoraŭ ne trovita.

Ni notas unu el la propraĵoj de geometria progresio - konstanta laboro de liaj membroj, interspacigitaj je egalaj distancoj de la randoj de la sekvenco.

De aparta graveco de scienca vidpunkto, tia afero kiel malfinia geometria progresio kaj kalkulante lia kvanto. Supozante ke (yn) - geometria progresio havanta denominatoro q, kontentigante la kondiĉon | q | <1, ĝia kvanto estos nomata la limo al kiu ni jam konas la sumo de lia unua membroj, kun senlima kresko de n, tiam havi ĝin alproksimiĝas malfinio.

Trovu ĉi kvanto rezulte de uzanta la formulo:

S n = y 1 / (1- q).

Kaj, kiel sperto montris, por la ŝajna simpleco de tiu vico estas kaŝita grandega aplikon potencialo. Ekzemple, se ni konstrui sekvencon de kvadratoj laŭ la jenaj algoritmo, konektanta la mezpunktojn de la antaŭa, ili formas kvadratan senfina geometria progresio havanta denominatoro 1/2. La sama progreso formon kaj areon de trianguloj, akiris unu la stadio de konstruo, kaj ĝia sumo egalas al la areo de la origina kvadrato.