Kiel la derivaĵo de la kosinuso produktado

La derivaĵo de kosinuso estas simila al la derivaĵo de la sinuso bazo de indico - difino de la limo funkcio. Eblas uzi alian metodon uzante trigonometriaj formuloj por veturanta la sinuso kaj kosinuso anguloj. Express unu funkcion post alia - tra sine kosinuso, sine, kaj diferenci kun kompleksa argumento.

Konsideru la unuan ekzemplon de la produktado de formulo (Cos (x)) '

Donu nekonsiderinda pliigo Δh argumento x de y = cos (x). Se la nova valoro de la argumento x + Δh akiri novan valoron Cos funkcio (x + Δh). Tiam pliigo Δu funkcio estos egala al Kos (x + Δx) -Cos (x).
La rilatumo de la pliigo funkcio estos tia Δh: (Cos (x + Δx) -Cos (x)) / Δh. Desegnu identeco transformoj rezultante en la numeratoro de la frakcio. Revenigo formulo diferenco kosinusoj, la rezulto estas verko -2Sin (Δh / 2) multiplikita de Peko (x + Δh / 2). Ni trovas la limo lim privata tiu produkto de Δh kiam Δh inklinas nulon. Ĝi scias ke la unua (nomita rimarkinda) limo lim (Peko (Δh / 2) / (Δh / 2)) estas egala al 1, kaj limigi -Sin (x + Δh / 2) estas egala -Sin (x) kiam Δx, inklinante nulo.
Ni skribas la rezulton: la derivaĵo (Cos (x)) "estas - Peko (x).

Iuj preferas la duan metodon de derivi la sama formulo

Konataj de trigonometrio: Cos (x) egalas Peko (0.5 · Π-x) simile Peko (x) estas Cos (0.5 · Π-x). Tiam diferencialebla kompleksa funkcio - la sinuso de plia angulo (anstataŭ X kosinuso).
Ni akiras la produkton Cos (0.5 · Π-x) · (0.5 · Π-x) ', ĉar la derivaĵo de la sine kosinuson de x estas x. Aliri dua formulo Peko (x) = Cos (0.5 · Π-x) anstataŭigante la kosinuso kaj la sino, konsideras, ke (0,5 · Π-x) = -1. Nun ni akiras -Sin (x).
Do, prenu la derivaĵo de la kosinuso, ni = -Sin (x) por la funkcio y = cos (x).

La derivaĵo de kosinuso kvadrato

Al ofte uzita ekzemplo estas uzata kie la derivaĵo de la kosinuso. La funkcio y = Cos ² (x) kompleksa. Ni trovas la unuan diferencialaj potenco funkcio kun eksponento 2, tio estas 2 · Cos (x), tiam ĝi estas multiplikita per la derivaĵo (Cos (x)) ", kiu estas egala -Sin (x). Akiri y '= -2 · Cos (x) · Peko (x). Kiam aplikebla Peko formulo (2 · x), la sinuso de la duobla angulo, akiri la fina Simpligita
respondo y '= -Sin (2 · x)

hiperbolaj funkcioj

Aplikita al la studo de multaj teknikaj disciplinoj en matematiko, ekzemple, plifaciligi kalkuli integraloj, solvo de diferencialaj ekvacioj. Ili estas esprimitaj en terminoj de trigonometriaj funkcioj kun imagaj argumentoj, do hiperbolan kosinuson ch (x) = Cos (i · x) kie mi - estas imaginara unuo, hiperbola sinuso sh (x) = peko (i · x).
Hiperbola kosinuso estas kalkulita simple.
Konsideri la funkcio y ^{= (e x + e -x)} / 2, tio estas la hiperbolan kosinuson ch (x). Uzante la regulon trovi derivita sumo de du esprimoj, la forigo kutime konstanta multiplikanto (Const) por la signo de la derivaĵo. La dua termino de 0,5 · e ^-x - kompleksa funkcio (ĝia derivaĵo estas -0,5 · e ^-x), 0,5 · f ^x - la unua termino. (Ch (x)) '= ((e ^x + e ^{- x)} / 2)' povas esti skribita alimaniere: (0.5 · e · ^x + 0.5 e ^{- x)} '= 0.5 · e ^x -0,5 · e ^{- x,} ĉar la derivaĵo (e ^{- x)} 'estas egala al -1 por umnnozhennaya e ^{- x.} La rezulto estis diferenco, kaj ĉi tiu estas la hiperbola sinuso sh (x).
Konkludo: (ch (x)) '= sh (x).
Rassmitrim ekzemplo de kiel kalkuli la derivaĵo de la funkcio y = ch (x ³ + 1).
Per diferenciación regulo hiperbolan kosinuson kun kompleksa argumento y '= sh (x ³ + 1) · (x ³ + 1)' kie (x ³ + 1) = 3 · x ² + 0.
A: La derivaĵo de ĉi tiu funkcio estas egala al 3 · x ² · sh (x ³ + 1).

Derivaĵoj diskutis funkcioj y = ch (x) kaj y = cos (x) tablo

En la decido de la ekzemploj estas necese ĉiufoje diferenci ilin sur la proponita skemo, uzu la produktadon sufiĉe.
Ekzemplo. Diferencas la funkcio y = cos (x) + Cos ² (-x) -Ch (5 · x).
Facilas komputi (uzo tabeligitajn datumoj), y '= -Sin (x) + Peko (2 · x) -5 · Sh (x · 5).