Malracia nombroj: kio estas tio kaj kion ili kutimis?

Kio estas neracionala nombro? Kial oni nomis? Kie ili estas uzataj kaj kio konsistigas? Malmultaj povas senhezite respondi tiujn demandojn. Sed fakte, la respondoj estas tre simpla, kvankam ne ĉiuj estas necesaj kaj en tre maloftaj situacioj,

La esenco kaj nomo

Malracia nombroj estas senfinaj ne-perioda glitpunktaj nombroj. La neceso enkonduki tiun koncepton devenas de la fakto, ke por trakti novajn aperantaj defioj estis nesufiĉa antaŭe ekzistantaj konceptoj de reala aŭ vera, tutaj, natura kaj racionalaj nombroj. Ekzemple, por kalkuli kvadratan valoro estas 2, necesas uzi ne-perioda senfina dekuma frakcio. Krome, multaj simplaj ekvacioj ankaŭ ne havas solvon sen la enkonduko de la koncepto de malracia nombroj.

Tiu aro estas skribata kiel mi Kaj, kiel fariĝis klara, ĉi tiuj valoroj povas esti prezentita kiel simplan frakcio, la numeratoro de kiu estas la tuta kaj la denominatoro - natura nombro.

Unuafoje iel kun ĉi tiu fenomeno alfrontis Indian matematikistoj en la VII jarcento aK, kiam ĝi estis eltrovita ke la kvadrataj radikoj de iuj kvantoj ne estas identigitaj klare. Al unua pruvo de la ekzisto de tiaj nombroj estas kreditita Pitagoraj Hippasus, kiu faris ĝin en la studo de izocela orta triangulo. Grava kontribuo al la studo de ĉi tiu aro alportis eĉ iuj sciencistoj, kiuj loĝis antaŭ Kristo. La enkonduko de la koncepto de malracia nombroj kaŭzis revizio de la ekzistantaj matematikaj sistemo, kio estas kial ili estas tiel grava.

Origino de la nomo

Se la proporcio de Latin - estas "pafo", "sinteno", la prefikso "ir"
ligita al la vorto malon. Tiel, la nomo de la aro de tiuj nombroj indikas ke ili ne povas esti korelaciita al entjero aŭ frakcia, havi sidlokon. Ĉi tiu sekvas de ilia naturo.

Loko en la ĝenerala klasifiko

Malracia nombroj, kune kun racia rilatas al grupo de reala aŭ virtuala, kiu siavice apartenas al la kompleksa. Subaroj ne, aliflanke, distingi inter algebraj kaj transcendaj speco, kiu parolos sube.

ecoj

Ĉar la malracia nombroj - estas parto de aro de reelaj, tiam apliki al ili ĉiuj liaj proprietoj, kiu estas studita en aritmetiko (ankaŭ nomita baza algebra leĝoj).

a + b = b + a (komuteco);

(A + b) + c = a + (b + c) (asocieco);

a + 0 = a;

a + (-a) = 0 (la ekzisto de kontraŭegalo);

ab = ba (komuta leĝo);

(Ab) c = a (bc) (distribueco);

a (b + c) = ab + ac (distribuebloregulo);

hakilo 1 = al

hakilo 1 / al = 1 (la inverso da ekzisto);

Komparo ankaŭ faris laŭ la ĝeneralaj leĝoj kaj principoj:

Se a> b kaj b> c do a> c (transitiveco kvociento) kaj. t. d.

Kompreneble, ĉiuj malracia nombroj povas esti konvertitaj uzante la bazaj aritmetikaj operacioj. Ajna specialaj reguloj en ĉi tio.

Krome, la malracia nombroj kovrita de la Arkimedo aksiomo. Ĝi deklaras ke por ĉiuj du valoroj de a kaj b estas vere, ke, prenante termino kiel sufiĉa nombro da fojoj, eblas bati b.

la uzo de

Malgraŭ tio, ke en la reala vivo ne ofte devas trakti ilin, malracia nombroj ne donas konton. Ili estas tre multaj, sed ili estas preskaŭ nevidebla. Ni estas ĉirkaŭitaj de la malracia nombroj. Ekzemploj, konata al ĉiuj, - la nombro pi, egala al 3.1415926 ... aŭ e, estas esence bazo de naturaj logaritmoj, 2,718281828 ... En algebro, trigonometrio kaj geometrio devas uzi ilin konstante. Parenteze, la konata valoro de la "ora sekcio", te la rilatumo de kiom de la alta al malalta kaj inverse, kaj Ĝi rilatas al ĉi tiu aro. Malpli konata "arĝento" - ankaŭ.

En la nombra linio, ili estas tre proksimaj, tiel ke inter ĉiuj du kvantoj, kovrita per aro de raciaj, malracia nepre okazas.

Ĝis nun, ekzistas multaj nesolvitaj demandoj rilataj al ĉi tiu aro. Estas kriterioj kiel la malracieco de la mezuro kaj la normaleco de la nombro. Matematikistoj daŭre esplori la plej signifaj ekzemploj por sia aparteno al unu grupo aŭ alia. Ekzemple, supozas ke e - normala nombro, kio estas, la probablo de okazaĵo en lia registrado de malsamaj figuroj estas samaj ... Koncerne pi, tiam ĝia relative longa sub esploro. Mezuro malracieco ankaŭ nomita valoro, indikas kiom bone apartan nombro povas esti aproksimita per racionalaj nombroj.

Algebraj kaj transcendaj

Kiel dirite, malracia nombroj kondiĉe dividita en algebra kaj transcenda. Konvencie, ĉar, strikte parolante, la klasifiko estas uzata por apartigi la pluralidad C.

Sub ĉi tiu designación kaŝas la kompleksaj nombroj, kiuj inkluzivas la reala aŭ vera.

Do algebra nomiĝas valoro, kiu estas la radiko de la polinomo ne idente nulo. Ekzemple, la kvadrata radiko de 2 falos en ĉi tiu kategorio, ĉar ĝi estas solvaĵo de la ekvacio x ² - 2 = 0.

Ĉiuj aliaj realaj nombroj kiuj ne kontentigi tiun kondiĉon nomiĝas transcenda. Tiu specio kaj estas la plej konata kaj jam menciita ekzemploj - la nombro pi kaj la natura logaritmo bazo e.

Interese, nek unu nek la dua estis origine breditaj fare matematikistojn kiel tia, ilia malracieco kaj graveco estis pruvita tra multaj jaroj post lia malkovro. Por pi pruvo estis provizita en 1882 kaj simpligita en 1894, kiu metis finon al la debato pri la problemo de kvadrato la cirklo, kiu daŭris dum 2500 jaroj. Ĝi ankoraŭ ne estas plene komprenita, tiel ke modernaj matematikistoj havas laboron por fari. Parenteze, la unua racie preciza ŝtono de ĉi tiu valoro havis Arquímedes. Antaŭ li, ĉiuj ŝtonoj estis tro proksimuma.

Por e (Eŭlera nombro, aŭ Napier), pruvo de lia graveco estis trovita en 1873. Ĝi estas uzata por solvi logaritma ekvacioj.

Interalie ekzemploj - la sinuso valoroj, kosinuso kaj tangento por ĉiu nenula algebra valorojn.