La teorio de probablo. Probablo de evento, foja evento (teorio de probabloj). Sendependa kaj nekongrua progresoj en la studado de probablo

Estas neverŝajne ke multaj homoj pensas eblas kalkuli eventoj, kiuj iugrade hazarda. Meti ĝin en simplaj vortoj, ĉu realisma por scii kion flanko de la kubo en la ĵetkubon falos venontfoje. Estis tiu demando demandi du grandaj sciencistoj, amorigis la fundamenton por tiu scienco, la teorio de probablo, la probablo de la evento en kiu la studitaj vaste sufiĉa.

generacio

Se vi provas difini tia koncepto kiel la teorio de probablo, ni ricevas la jenajn: tio estas unu el la branĉoj de matematiko, kiu studas la konstantecon de hazardaj okazaĵoj. Klare, ĉi tiu koncepto vere ne malkaŝas la esencon, do vi devas konsideri ĝin en pli detalo.

Mi ŝatus komenci per la fondintoj de la teorio. Kiel estis menciita supre, estis du, kiuj Po Ferma kaj Blez Paskal. Ili estis la unua provis uzante formuloj kaj matematikaj ŝtonoj por kalkuli la rezulton de okazaĵo. Ĝenerale, la elementoj de ĉi tiu scienco estas eĉ en la Mezepoko. Dum diversaj pensuloj kaj scienculoj provis analizi la kazino ludoj kiel ruleto, craps, kaj tiel plu, tiel al establi mastron, kaj la procento perdo de kelkaj. La fundamento ankaŭ metis en la deksepa jarcento estis la antaŭe menciita kleruloj.

Komence, ilia laboro ne povis atribui al la grandaj atingoj en tiu kampo, finfine, kion ili faris, ili simple empiriaj faktoj kaj eksperimentoj estis klare sen uzi formuloj. Kun la tempo, ĝi igis al atingi grandajn rezultojn, kiuj aperis kiel rezulto de observado de la rolantaro de la ostoj. Ĝi estas tiu instrumento helpis alporti la unua klara formulo.

subtenantoj

Ne mencii tia homo, kiel Christiaan Huygens, en la procezo de studado de la subjekto kiu portas la nomon de "teorio de probabloj" (probablo de la evento elstarigas ĝin en ĉi tiu scienco). Ĉi tiu persono estas tre interesa. Li, kaj ankaŭ sciencistoj prezentis supre estas traktitaj en la formo de matematikaj formuloj dedukti mastro de hazardaj okazaĵoj. Estas rimarkinde, ke li ne dividi ĝin kun Paskalo kaj Fermat, tio estas la tuta laboro ne koincidas kun tiuj mensoj. Huygens derivita la bazaj konceptoj de teorio de probabloj.

Interesa fakto estas, ke lia laboro aperis longe antaŭ la rezultoj de la verkoj de pioniroj, esti ĝusta, dudek jarojn pli frue. Estas nur inter la konceptoj identigitaj estis:

• kiel la koncepto de probablo valoroj hazardo;
• atendo por la diskreta kazo;
• teoremoj de adicio kaj multipliko de probabloj.

Ankaŭ, oni povas forgesi Yakoba Bernulli, kiu ankaŭ kontribuis al la studo de la problemo. Tra sia propra, kiuj ne estas sendependaj testoj, li povis disponigi pruvon de la leĝo de grandaj nombroj. Siavice, sciencistoj Poisson kaj Laplace, kiu laboris en la frua deknaŭa jarcento, povis pruvi la origina teoremo. Ekde tiu momento por analizi erarojn en la observoj ni komencis uzanta teorio de probabloj. Partio ĉirkaŭ tiu scienco povis kaj rusa sciencistoj, iom Markov, Ĉebiŝev kaj Dyapunov. Estas bazitaj en la laboro farita grandaj genioj, ĝi atingis la temon kiel branĉo de matematiko. Ni laboris tiujn ciferojn en la fino de la deknaŭa jarcento, kaj danke al lia alportas, estis provitaj fenomenojn kiel:

• leĝo de grandaj nombroj;
• Teorio de Markov ĉenoj;
• La centra limiga teoremo.

Do, la historion de la naskiĝo de scienco kaj kun la gravaj personecoj kiuj kontribuis al tio, ĉio estas pli malpli klara. Nun estas tempo por karnon el ĉiuj faktoj.

bazaj konceptoj

Antaŭ tuŝi la leĝoj kaj teoremoj devus lerni la bazajn konceptojn de teorio de probabloj. Eventon okupas regantan paperon. Tiu temo estas iom vasta, sed ne povos kompreni la cetero sen ĝi.

Evento en teorio de probabloj - ĝi Ajna aro de rezultoj de la eksperimento. Konceptoj de ĉi tiu fenomeno ne estas sufiĉa. Tiel, Lotman sciencisto laboranta en ĉi tiu kampo, ĝi esprimis ke en ĉi tiu kazo nin raportas kion "okazis, kvankam ĝi ne okazos."

Hazarda eventoj (teorio de probabloj pagas specialan atenton al ili) - estas koncepto kiu implikas absolute ajna fenomeno havanta la eblecon okazi. Aŭ, male, tiu scenaro povas okazi en la plenumado de diversaj kondiĉoj. Ĝi estas ankaŭ valora sciante ke okupi la tutan volumon de la fenomenoj okazantaj nur hazardaj okazaĵoj. Teorio de probabloj sugestas ke ĉiuj kondiĉoj povas ripeti senĉese. Estas ilia konduto estis nomita "sperto" aŭ "provo".

Signifa okazaĵo - tio estas fenomeno kiu estas cent procento en ĉi tiu testo okazos. Laŭe, la neebla evento - tio estas iu kiu ne okazas.

Kombinante paroj Agado (konvencie la kazo A kaj kazo B) estas fenomeno kiu okazas samtempe. Ili estas nomata kiel AB.

La kvanto de paroj de eventoj A kaj B - C estas, alivorte, se almenaŭ unu el ili estos (A aŭ B), vi ricevos C. La formulo priskribita fenomeno estas skribita kiel C = A + B.

Nekongrua progresoj en la studado de probablo implicas ke la du kazoj estas reciproke ekskluziva. Samtempe ili estas ĉiuokaze ne povas okazi. Artiko okazaĵoj en teorio de probabloj - ĝi estas ilia antipodo. La implico estas ke se A okazis, tio ne obstaklas C.

Kontraŭbatalante la evento (teorio de probabloj konsideras ilin tre detale), estas facile kompreni. Estas plej bone trakti ilin en komparo. Ili estas preskaŭ la sama kiel nekongrua progresoj en la studado de probablo. Tamen, ilia diferenco estas ke unu el pluralidad de fenomenoj ĉiuokaze devus okazi.

Egale verŝajna okazaĵoj - tiuj agoj, la eblecon de ripeto estas egalaj. Por klarigi, vi povas imagi ĵetanta monero: perdo de unu el ĝiaj flankoj estas egale probabla perdo alia.

estas pli facile konsideri la ekzemplo de favori la okazaĵo. Supozu ke estas epizodo en la epizodo A. La unua - rulo de ĵetkubo kun la alveno de nepara nombro, kaj la dua - la apero de la numero kvin sur la ĵetkubo. Tiam ĝi rezultas ke A estas favoritaj V.

Sendependa okazaĵoj en teorio de probabloj estas projekciitaj nur sur du aŭ pli da okazoj kaj engaĝi sendependa de ajna ago de la alia. Ekzemple, A - ĉe perdo vostoj monero ŝancelatajn, kaj B - dostavanie fanto de la ferdeko. Ili havas sendependaj eventoj en teorio de probabloj. De ĉi tiu momento evidentiĝis.

Dependa okazaĵoj en teorio de probabloj estas ankaŭ permesita nur por ilia aro. Ili implicas la dependecon de la alia, tio estas, la fenomeno povas okazi en nur en la kazo kiam A jam estis atingita aŭ, male, ne okazis kiam ĝi estas - la ĉefa kondiĉo por B.

La rezulto de la hazarda eksperimento kiu konsistas de sola komponanto - estas elementaj okazaĵoj. Teorio de probabloj diras ke estas fenomeno kiu estas farita nur unufoje.

baza formulo

Tiel, la supre estis konsiderita la koncepto de "okazaĵo", "teorio de probabloj", difinoj de ĉefaj terminoj de ĉi tiu scienco ankaŭ donita. Nun estas tempo por konatiĝi kun la grava formuloj. Ĉi tiuj esprimoj estas matematike konfirmis ĉiujn ĉefajn konceptojn en tia malfacila temo kiel la teorio de probablo. Probablo de evento kaj ludas grandegan rolon.

Pli bona por komenci kun la bazaj formuloj de kombinatoriko. Kaj antaŭ ol vi komencas ilin valoras konsiderante kio ĝi estas.

Kombinatoriko - estas ĉefe branĉo de matematiko, li estis studanta grandega nombro da entjeroj, kaj diversaj permutoj de kaj la nombroj kaj ilia elementoj, diversaj datumoj, ktp, kondukante al kelkaj kombinaĵoj ... Krom la teorio de probablo, ĉi tiu industrio estas grava por la statistiko, komputiko kaj ĉifriko.

Do nun vi povas movi sur al la prezento de si mem kaj ilia difino formuloj.

La unua de ĉi tiuj estas la esprimo por la nombro de permutoj, estas kiel sekvas:

P n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2) ... 3 2 ⋅ ⋅ 1 = n!

Ekvacio validas nur en la kazo se la elementoj diferencas nur en la ordo de aranĝo.

Nun lokigo formulo, ĝi aspektas kiel ĉi estos konsiderita:

A_n ^ m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (N - m)!

Tiu esprimo estas aplikebla ne nur al la sola elemento de ordon lokigo, sed ankaŭ al lia komponado.

La tria ekvacio de kombinatoriko, kaj ĝi estas la lasta, nomita la formulo por la nombro de kombinaĵoj:

C_n ^ m = n! : ((N - m))! : M!

Kombinaĵo nomita muestreo, kiuj ne ordonis, respektive, al kaj aplikita ĉi tiu regulo.

Kun la formuloj de kombinatoriko venis kompreni facile, Vi povas nun iri al la klasika difino de probablo. Ĝi aspektas kiel tiu esprimo tiel:

P (A) = m: n.

En ĉi tiu formulo, m - estas la nombro de kondiĉoj favoraj por la evento A, kaj n - nombro de egale kaj tute ĉiuj elementaj okazaĵoj.

Ekzistas multaj esprimoj en la artikolo ne estos konsiderata io krom tuŝis estos la plej gravaj, kiel, ekzemple, la probablo de okazaĵoj sumas:

P (A + B) = P (A) + P (B) - tiu teoremo por aldoni nur reciproke ekskluziva okazaĵoj;

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB) - sed tio estas nur por aldoni kongrua.

La probablo de la evento verkoj:

P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B) - tiu teoremo por sendependaj eventoj;

(P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B | A); P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (A | B)) - kaj tio por la dependa.

Finiĝis listo de okazaĵoj formulo. La teorio de probablo diras al ni teoremon Bayes, kiu aspektas tiel:

P (H_m | A) = (P (H_m) P (A | H_m)): (Σ_ (k = 1) ^ n P (H_k) P (A | H_k)), E = 1, ..., n

En ĉi tiu formulo, H _1, H _2, ..., H _n - estas kompleta aro de hipotezo.

Je tiu halto, specimenoj formuloj aplikon nun esti konsiderata por specifaj taskoj de praktiko.

ekzemploj

Se vi zorge studi ajna branĉo de matematiko, ne sen ekzercoj kaj specimeno solvoj. Kaj la teorio de probablo: eventoj, ekzemploj tie estas integra komponanto de konfirmante sciencaj kalkuloj.

La formulo por la nombro de permutoj

Ekzemple, en karto ferdeko havas tridek kartoj, komencante por la nominala unu. Sekva demando. Kiom da manieroj faldi la ferdeko tiel ke la kartoj kun vizaĝo valoro de unu kaj du ne situas poste?

La tasko estas metita, nun ni pluiru trakti ĝin. Unue vi devas determini la nombron de permutoj de tridek elementoj por tio ni preni la supre formulo, rezultas P_30 = 30!.

Bazita sur ĉi tiu regulo, ni scias, kiom da ebloj ekzistas por starigi la ferdeko multmaniere, sed ni devas esti subtrahita de ili estas tiuj en kiuj la unua kaj dua karto estos poste. Por fari tion, starti kun varianto, kiam la unua situas en la dua. Montriĝas, ke la unua mapo povas preni dudek naŭ lokoj - de la unua al la dudek-naŭa, kaj la dua karto de la dua al la trideka, turnas dudek naŭ sidlokoj por paroj da kartoj. Siavice, la aliaj povas preni dudek ok sidlokojn, kaj en ajna ordo. Tio estas, por la reordigo de la dudek ok kartoj dudek ok ebloj P_28 = 28!

La rezulto estas, ke se ni konsideras la decidon, kiam la unua karto estas sur la dua ekstra ŝanco akiri 29 ⋅ 28! = 29!

Uzante la saman metodon, vi devas kalkuli la nombron de superfluaj ebloj por la kazo kiam la unua karto situas sub la dua. Ankaŭ akiris 29 ⋅ 28! = 29!

El tio sekvas, ke la ekstra ebloj 2 ⋅ 29!, Dum la necesaj rimedoj de kolektado la ferdeko 30! - 2 ⋅ 29!. Ĝi restas nur kalkuli.

30! = 29! ⋅ 30; 30 - 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Nun ni devas multobligi kune ĉiuj nombroj de unu ĝis dudek naŭ, kaj poste fine de ĉiu multiplikita de 28. La respondo akiris 2,4757335 ⋅ 〖〗 10 ^ 32

Ekzemploj de solvoj. La formulo por la nombro de gastigado

En ĉi tiu problemo, vi devas trovi ekstere kiom da ekzistas manieroj meti la dek kvin volumoj sur breto, sed sub la kondiĉo ke nur tridek volumoj.

En ĉi tiu tasko, la decido iom pli facila ol la antaŭaj. Uzante la jam konata formulo, estas necese kalkuli la totala nombro de tridek lokoj dek kvin volumoj.

A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ ... ⋅ 28⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 360 000

Respondo, respektive, estos egala al 202 843 204 931 727 360 000.

Nun prenu la taskon iom pli malfacila. Vi bezonas scii kiom da ekzistas manieroj aranĝi la tridek du libroj sur la bretoj, kun kondiĉo, ke nur dek kvin volumoj povas loĝi en la sama breto.

Antaŭ la komenco de la decido ŝatus klarigi ke iuj el la problemoj povas esti solvitaj en kelkaj manieroj, kaj en tiu estas du vojoj, sed en ambaŭ unu kaj la sama formulo estas aplikita.

En ĉi tiu tasko, vi povas preni la respondo al la antaŭa, ĉar ni kalkulis la nombron de tempoj vi povas plenigi la breto por dek kvin libroj en malsamaj manieroj. Montriĝis A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16.

La dua regimento kalkulita per la formulo reshuffle, ĉar ĝi estas metita dek kvin libroj, dum la cetero de dek kvin. Ni uzas formulo P_15 = 15!.

Montriĝas, ke la sumo volas A_30 ^ 15 ⋅ P_15 vojoj, sed, krome, la produkto de ĉiuj nombroj de tridek al dek ses estus multiplikita per la produkto de la nombroj de unu ĝis dek kvin, en la fino rezultos la produkto de ĉiuj nombroj de unu ĝis tridek, kiu estas la respondo estas 30!

Sed tiu problemo povas esti solvita alimaniere - pli facila. Por fari tion, vi povas imagi, ke ekzistas unu breto tridek libroj. Ĉiuj ili estas metitaj en ĉi tiu ebena, sed ĉar la kondiĉo postulas ke estis du bretoj, unu longe ni segi en duono, du turnoj dek kvin. El tio rezultas, ke por tiu aranĝo povas esti P_30 = 30!.

Ekzemploj de solvoj. La formulo por la nombro de kombinaĵoj de

Kiu estas konsiderata variaĵo de la tria problemo de kombinatoriko. Vi bezonas scii kiom da manieroj ekzistas aranĝi dek kvin librojn pri la kondiĉo ke vi devas elekti el tridek precize la sama.

Por la decido estos, kompreneble, apliki la formulo por la nombro de kombinaĵoj. De la kondiĉo ke ĝi iĝas klare, ke la ordo de la sama dek kvin libroj ne gravas. Do komence vi devas eltrovi la totala nombro de kombinaĵoj de tridek dek kvin libroj.

C_30 ^ 15 = 30! : ((30-15))! : 15! = 155117520

Jen ĉio. Uzante ĉi tiu formulo, en la plej mallonga tempo ebla por solvi tian problemon, la respondo, respektive, egala al 155.117.520.

Ekzemploj de solvoj. La klasika difino de probablo

Uzante la formulo donita pli supre, oni povas trovi respondon en simpla tasko. Sed ĝi klare vidi kaj sekvi la kurson de ago.

La tasko donita ke en urno estas dek tute identa pilkojn. El tiuj, kvar flavaj kaj ses bluaj. Prenita de la urno unu pilkon. Estas necese scii la probablo dostavaniya blua.

Por solvi la problemon necesas designar dostavanie blua pilko okazaĵo A. Ĉi tiu sperto eble dek rezultoj, kiu, siavice, elementa kaj egale probabla. Samtempe, ses el la dek bonon al la evento A. Solvu la sekva formulo:

P (A) = 6: 10 = 0.6

Aplikanta ĉi tiu formulo, ni lernis ke la ebleco dostavaniya blua pilko estas 0.6.

Ekzemploj de solvoj. La probablo de okazaĵoj kvanto

Kiu estos varianto kiu estas solvita uzante la formulo de probablo de okazaĵoj kvanto. Do, donita la kondiĉo ke estas du okazoj, la unua estas griza kaj kvin blankaj pilkoj, dum la dua - ok grizaj kaj kvar blankaj pilkoj. Rezulte, la unua kaj dua skatolojn prenis sur unu el ili. Estas necese por eltrovi kio estas la ŝancoj ke malhavis la pilkoj estas grizaj kaj blankaj.

Por solvi tiun problemon, necesas identigi la okazaĵon.

• Tiel, A - ni havas grizan pilkon de la unua skatolo: P (A) = 1/6.
• A '- blanka ampolo ankaŭ prenis de la unua skatolo: P (A') = 5/6.
• La - jam eltirita griza pilko de la dua akvotubo: P (B) = 2/3.
• B '- grize pilko de la dua tirkesto: P (B') = 1/3.

Laŭ la problemo estas necese, ke unu el la fenomenoj okazis AB 'aŭ' B. Uzante la formulo, ni akiras: P (AB ') = 1/18, P (A'B) = 10/18.

La formulo de multiplikante la probableco estis uzata. Sekva, por veni al la respondo, vi devas apliki sian ekvacion aldonante:

P = P (AB '+ A'B) = P (AB') + P (A'B) = 11/18.

Tiel, uzante la formulo, vi povas solvi tiajn problemojn.

rezulto

La papero estis prezentita al la informo sur "teorio de probabloj", la probablo de okazaĵoj kiuj ludas gravan rolon. Kompreneble, ne ĉiu estis konsiderita, sed surbaze de la teksto prezentis, Vi povas teorie atingi konatiĝi kun ĉi tiu branĉo de la matematiko. Konsiderita scienco povas utili ne nur en la profesia negoco, sed ankaŭ en la ĉiutaga vivo. Vi povas uzi ĝin por kalkuli ajnan eblecon de okazaĵo.

La teksto estis ankaŭ tuŝita de signifaj datoj en la historio de la evoluo de teorio de probabloj kiel scienco, kaj la nomoj de personoj kies verkoj estis metita en ĝin. Tiel homa scivolemo kondukis al la fakto ke homoj lernis kalkuli, eĉ hazardaj okazaĵoj. Post kiam ili estas nur interesita pri tio, sed hodiaŭ ĝi estas jam konata al ĉiuj. Kaj neniu povas diri, kio okazos al ni en la estonteco, kion aliaj brilaj malkovroj rilataj al la teorio sub konsidero, estus plenumita. Sed unu afero estas por certa - la studo ankoraŭ ne valoras ĝin!